diketahui panjang vektor a=[ 2] [-2] [ 4] pada vektor b=[ 4] [-2] [ p] adalah 8/5 akar 5. Nilai P adalah... A.25 B.5 akar 3 C.5 D.akar 5 E.1/5

Diketahui panjang vektor a = [2, -2, 4] pada vektor b = [4, -2, p] adalah (8/5) √5. Nilai p adalah...
A. 25
B. 5 √3
C. 5
D. √5
E. 1/5

Pembahasan :

Diketahui :
a = [2, -2, 4]
b = [4, -2, p]
Panjang proyeksi vektor a pada b
= (8/5) √5

Ditanyakan :
p = .... ?

Jawab :
a . b = 2(4) + (-2)(-2) + 4p
a . b = 8 + 4 + 4p
a . b = 12 + 4p
a . b = 4(3 + p)

|b| = √(4² + (-2)² + p²)
|b| = √(16 + 4 + p²)
|b| = √(20 + p²)

Panjang proyeksi a pada b = (8/5) √5

(a . b)/|b| = (8√5)/5

4(3 + p) / √(20 + p²) = (8√5)/5

==> kali silang <==

5 . 4(3 + p) = 8√5 . √(20 + p²)

==> kedua ruas bagi 4 <===

5(3 + p) = 2 √5 √(20 + p²)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

25(3 + p)² = 4 . 5 (20 + p²)

==> kedua ruas bagi 5 <==

5(9 + 6p + p²) = 4(20 + p²)
45 + 30p + 5p² = 80 + 4p²
p² + 30p - 35 = 0
a = 1, b = 30, c = -35
dengan rumus abc diperoleh
p = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
p = [-30 ± √(30² - 4(1)(-35))] / (2(1))
p = [-30 ± √(900 + 140)] / (2)
p = [-30 ± √(1040)] / (2)
p = [-30 ± 4√65] / 2
p = -15 ± 2√65
Jadi nilai
p = -15 + 2√65
atau
p = -15 - 2√65
Tak ada di option


Kemungkinan ada RALAT yaitu :
a = [2, 2, 4]
sehingga
a . b = 2(4) + 2(-2) + 4p
a . b = 8 - 4 + 4p
a . b = 4 + 4p
a . b = 4(1 + p)

(a . b)/|b| = (8√5)/5

4(1 + p) / √(20 + p²) = (8√5)/5

==> kali silang <==

5 . 4(1 + p) = 8√5 . √(20 + p²)

==> kedua ruas bagi 4 <===

5(1 + p) = 2 √5 √(20 + p²)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

25(1 + p)² = 4 . 5 (20 + p²)

==> kedua ruas bagi 5 <==

5(1 + 2p + p²) = 4(20 + p²)
5 + 10p + 5p² = 80 + 4p²
p² + 10p - 75 = 0
(p + 15)(p - 5) = 0
p = -15 atau p = 5

Jawaban : C. 5

======================

Kelas : 12 KTSP
Mapel : Matematika
Kategori : Vektor
Kata Kunci : Panjang proyeksi vektor
Kode : 12.2.4 (Kelas 12 Matematika Bab 4 - Vektor)